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柯言为什么一个数的零次幂等于 1?

柯言为什么一个数的零次幂等于 1?

  的次方表示,这种算法我是知道的。但为什么的次方,表示个相乘,而「个相乘不是等于吗?」这种表达错在哪?

  我是学渣,发表一下个人的理解,等大神指正。

  对于不同类型的数的幂,是用不同的方式定义的。

  「A的B次方就意味着B个A相乘」——这并不是乘方运算的定义,而是一种直观理解而已。这仅仅适用于正整数指数幂,只不过是因为绝大多数人,最初接触乘方运算,都是从2次方3次方这样的正整数指数幂入手的,所以先入为主地形成了这种直观理解。

  除了正整数指数幂,还有负整数指数幂,分数指数幂,无理数指数幂,虚数指数幂呢……所以说,除了楼主提到的0次方很难理解,x^0.5也不能直观地理解为半个x相乘吧?x^π呢?x^i就更怪了,i个x相乘?根本无法理解嘛!

  对于正整数指数幂,我们都可以很直观地理解,而且很显然满足(x^a)(x^b)=x^(a+b),(x^a)/(x^b)=x^(a-b)这样的运算法则。咦,人们发现,上面的第二个公式中,a可以小于b耶,a-b就是个负数啦,用运算法则套一套,x^(a-b)就是x^(b-a)的倒数嘛,并且这种表示方法依然挺科学的呀,顺理成章地,a=b的时候,也就是0次方,代入上面第二个公式,发现分子分母相等,就等于1了呗。为什么我们说0的0次方没有意义?原因也就在这,它是从这个运算法则里推广出来的,就跟分母等于0差不多,所以没意义了。

  综上,我们就定义,正整数指数幂x^n,就是n个x相乘。

  而负整数指数幂和零指数幂,根据运算法则可以得出。这样一来,乘方的表示法从正整数推广到了0和负整数,并且这种表示法在运用中不会导致什么错误,非常的棒!

  下面就讲得浅一点,因为再讲深一点的话我也不懂了。

  对于分数指数幂,我们定义 x^(p/q)=(x的p次方)开q次方根。很多高中老师会举几个实际的例子(比如2的4次方再开平方,27的平方再开3次方之类的比较直观的),让学生通过观察来增进对分数指数幂的理解。我觉得这么教其实不太好,当然这种方法比较快捷,老师讲一遍学生就可以开始做题了……某种程度上讲,这个规律是从(x^a)^b=x^(ab)这个运算法则中发现的,分数指数幂也满足这个法则。稍加推演,我们会发现,0的正分数指数幂就是0,0的负分数指数幂无意义。

  综上,很显然,「A的B次方就意味着B个A相乘」这句话无法适用于分数指数幂,语文上讲不通。

  无理数指数幂,简直太蛋疼了,无理数没办法表示为分数。

  比如x^π,π是3.14159……无限不循环,这怎么玩?

  在数轴上,π占据了一个点,而数轴上分布着无数多个点,我用其他的有理数点(记为n吧)不停去逼近π,越靠越近,当这个n与π非常非常接近的时候,x^n与x^π 也非常非常接近了。当然,要问这个n具体等于多少?这个是说不出来的,最终n并不是哪一个具体的有理数,而是一个逼近的过程,也就是说,当有理数n越来越接近π的时候,x^n的值也越来越接近我们要找的那个x^π的值。

  【多谢评论2楼的@李博扬,指出了我之前表述中的不严谨。】

  于是我可以理解为,x^a(其中a为无理数)就等于 lim[n→a,n是有理数]x^n,用极限来理解的。

  很显然,不能用「A的B次方就意味着B个A相乘」来理解无理数指数幂。

  做到这里,高中生们纷纷如释重负,这个设定还真是科学啊,一定是我打开的方式太正确了,于是定义在实数域上的幂函数就是一条连续的曲线了。

  虚数指数幂,是用欧拉公式定义的,e^ix=cosx+isinx,推导过程就是把e^y展开成幂级数,然后用xi把y代换掉,把新的幂级数求和。

  其实学渣我也没学过复分析……不过我想很多人都知道被称为「上帝创造的公式」的 e^πi+1=0

  很显然,「A的B次方就意味着B个A相乘」这句话,柯言跟虚数指数幂更是八竿子打不着。

  【多谢评论1楼的@Fan】

  关于虚数指数幂,我只是很简单地带过,原因有2。

  首先,因为我不太懂,我大学的专业也还没到要学复分析的程度,加上我数学算是不太好的,顶多用生活化的语言随便聊聊,聊深了我的数学知识甚至数学思维就经不起推敲了。

  其次,我看到题主提这个问题,第一反应感觉题主似乎是一个高中生。并没有瞧不起的意思,而是我回想起了自己曾经的感受,对于楼主这个问题,我在高中学习幂函数期间,心中也有过类似的疑惑(只可惜当时我觉得题目会做就行了,并没有仔细思考,如果当时就有知乎,可能我也会来提这个问题吧)。而当我高三和高考之后,我觉得自己很厉害呀,高中的数学老子全懂了,幂函数这么简单的呵呵——有这种心态的高中毕业生可能不止我一个吧?有这种心态,也就不会提这种问题了。而大学数学系的,或者需要学高等数学的学生,通常直接就用实分析和复分析的知识来理解这个幂的问题了,也不太会来知乎提问。所以我当时第一反应推测题主可能是高中生,如果他将来学数学,会比我更懂;如果他将来不学数学,我这么简单浅显的回答应该也够了。

  既然如此,虚数指数幂这么蛋疼的我自己都不太搞得懂的知识,就一笔带过吧,欧拉公式还是很美的,所以我顺便提一提,就当是写作文先摘抄一句名人名言吧。

  不过多亏了Fan的提醒,有一个东西是要补充的,如果题主真的是高中生,可能对此有所疑问:

  e^ix=cosx+isinx 这个公式怎么能定义所有的虚数指数幂呢?如果我的底数不是e 怎么办,比如3^i是多少?

  那就写成这样, 3^i=e^[ln(3^i)]=e^(i·ln3),形状就跟之前的公式一样了。于是有,

  e^(i·ln3)=cos(ln3)+i·sin(ln3),就是这么定义的

  于是一些比较典型的值,我们都可以自己算着玩玩,加深一下体会,比如1^i

  总之,虚数指数幂,我本人完全无法在脑中形成图像化的、直观的理解,可能是我空间想象能力比较差,看个地球仪都费劲。

  综上,「A的B次方就意味着B个A相乘」 这句话,你可以默默留在心里,这有助于理解幂函数的单调性。如果将来不准备成为专业的学者,你不一定要理解得多么透彻,只要心中明白「2的π次方?反正比2的3次方稍微大一点」就行了,至于2的π次方到底是多少,就随它去吧。

  简单理解就是5^0=5^(a-a)=5^a/5^a=1

  其实我想对于形式的幂函数用来定义的话不是很清楚了么,用这个定义还可以解释为什么0的0次幂无法定义的问题,因为这就相当于这个二元函数在0点的连续性问题罢了

  因为定义啊

  我们看如何来定义实数的指数运算,首先从自然数开始

  定义1(实数的自然数次幂) 设实数,为使升到次幂,我们定义,现递归地假设若对于某自然数已定义,则我们定义由定义可知,对于任何实数有。

  定义2(实数的整数次幂) 设是不为零的实数,那么对于任何的负整数,我们定义现在我们考虑非整数次幂运算,我们从次根的概念开始

  定义3 设是正的实数,并设是正的整数,我们定义,叫做的次根为{}

  我们常把记作注意,我们没有定义零的次根,也没有定义负数的次根,我们就此止步。在我们定义复数之后,就可以定义这些根了。

  次根是存在的,并且还有下面性质

  设是正的实数,并设是正的整数

  如果,那么反之,如果,那么是正的实数

  现在我们来定义如何把一个正数升到比例数次幂

  定义4 设是正的实数,并设是比例数,为定义,我们把写成某整数与某正整数的比,,并定义

  注意,每个比例数不管是正的,负的,还是零,都可以写成的形状,其中是整数,是正整数

  最后我们来定义实指数的指数运算

  定义5(实指数的指数运算) 设是实数, 并设是实数,我们定义为的极限,其中是任何收敛到的比例数序列,即

  这一定义是良定义(well-defined),实指数的指数运算有如下性质

  设是正的实数,设是实数

  是正的实数

  ,并且

  对于自然数来说,其实我们可以用另一种定义方式。

  定义 为 ,定义 ,其中右边的 是笛卡尔乘积。那么这个乘法的定义是复合我们通常的乘法的。定义 ,其中 表示由 到 的函数构成的集合。那么容易看出 ,由于只有一个函数 ,也就是 ,我们知道 。

  更广义地来说,在定义了指数对象的范畴中, (甚至有 )。

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